حلول تمارين متنوعة فى أفرع الرياضيات-هام جدا

دراسة حالة تطابق مثلثين
بمعلومية
ضلعان وزاوية غير محصورة


من المعلوم لتطابق مثلثين - أو إنشاء مثلث محدد وحيد - يلزم معلومية عناصر أحد الشروط التالية :

1 - أطوال الأضلاع الثلاث (SSS)
2 - زاويتين وضلع محصور بينهما (ASA)
3 - ضلعين وزاوية محصورة بينهما (SAS)
وفى حالة المثلث القائم الزاوية :
طول الوتر وأحد الأضلاع فقط - وهى حالة خاصة

وتوجد حالة رابعة بحثها الرياضيون - بمعلومية زاوية وضلعين غير محصورين للزاوية SSA - وأسموها الحالة الغامضة ambiguous case ، وهى الحالة المطلوب تداولها بالنقاش

وهذه الحالة لا تعطى فى جميع الأحوال مثلث وحيد يمكن تحديده دائما - وبالتالى عدم تطابق المثلثين فى جميع الأحوال

وتعتمد هذه الحالة على نوع الزاوية المعلومة ، ونسبة طولى الضلعين المعلومين بالنسبة لبعضهما

ويعتمد الحل فى إيجاد المثلث على قانون الجيب للمثلث كحل وحيد

وسنستخدم القانون : جاأ = (ب ج/أ ج). جاب

أولا : فى حالة أن الزاوية المعلومة " حادة " أصغر من 90 درجة ، وتتضمن 5 حالات :




1 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر كثيرا من الضلع المجاور :
أ ج < ب ج
بحيث (ب ج/أ ج). جاب > 1
وفى هذه الحالة لا يمكن إنشاء المثلث لأنه لا توجد زاوية جيبها > 1
وبالتالى عدم تطابقه مع المثلث الآخر بنفس عناصره المعلومة - انظر الشكل عاليه

2 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر من الضلع المجاور :
أ ج < ب ج
بحيث (ب ج/أ ج). جاب = 1
وفى هذه الحالة تكون زاوية أ = 90 درجة
ويمكن إنشاء مثلث وحيد ، وبالتالى يتطابق مع المثلث الآخر بنفس عناصره - انظر الشكل عاليه

3 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر من الضلع المجاور :
أ ج < ب ج
بحيث (ب ج/أ ج). جاب < 1
وفى هذه الحالة تكون زاوية أ لها قيمتين : أ ، (180 - أ)
ويوجد مثلثين وليس مثلثا وحيدا ، فالتطابق لا يتم - انظر الشكل عاليه

4 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة يساوى الضلع المجاور :
أ ج = ب ج
فيكون المثلث وحيد ومتساوى الساقين ، ويتم التطابق مع المثلث الآخر - انظر الشكل عاليه

5 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أكبر من الضلع المجاور :
أ ج > ب ج
وتكون (ب ج/أ ج). جاب < 1
ويمكن إنشاء مثلث وحيد ، وبالتالى يتطابق مع المثلث الآخر - انظر الشكل عاليه

ثانيا : فى حالة الزاوية المعلومة "منفرجة" أكبر من 90 درجة ، وتتضمن 3 حالات



1 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر من الضلع المجاور :
أ ج < ب ج
وتكون (جا^-1 ((ب ج/أ ج). جاب ) + زاوية ب) > 180 درجة
فلا يمكن إنشاء المثلث

2 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة يساوى الضلع المجاور :
أ ج = ب ج
وتكون (جا^-1 ((ب ج/أ ج). جاب ) + زاوية ب) = 180 درجة
فلا يمكن إنشاؤه

3 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أكبر من الضلع المجاور :
أ ج > ب ج
ويمكن إنشاء المثلث كحالة وحيدة وبالتالى يتطابق مع المثلث الآخر - أنظر الشكل عاليه











ما هي أقل تكلفة ممكنة لتبليط حمام سباحة على شكل متوازي مستطيلات حجمه 36 م مكعب

، وطوله ضعف عرضه . بسيراميك مساحة المتر المربع منه 40 جنيها



حجم حمام السباحة = 2 ل^2 * ع = 36

ع = 18 / ل^2

التبليط سيكون للقاع والأجناب الأربعة لحمام السباحة

مساحة البلاط = 2 ل^2 + 2 ل ع + 4 ل ع = 2 ل^2 + 6 ل ع =

= 2 ل^2 + 6 ل*(18/ل^2) = 2 ل^2 + 108/ل

المشتقة الأولى للمساحة بالنسبة الى "ل"

= 4 ل - 108/ل^2

عند النهاية الصغرى أو الكبرى يكون :

4 ل - 108/ل^2 = 0

ل - 27/ل^2 = 0

(ل^3 - 3^3)/ل^2 = 0

ل = 3

المشتقة الثانية :

= 1 + 54/ل^3

عند ل = 3
تكون قيمة المشتقة الثانية موجبة
أى قيمة صغرى

أقل تكلفة عند ل = 3

قيمة أقل تكلفة = مساحة البلاط * سعر الوحدة المسطحة

= [ 2 ل^2 + 108/ل ]* 40 = 2160 جنيها

اوجد ابعاد المستطيل المرسوم داخل نصف دائرة قطرها 4سم يحيث تكون مساحته اكبر مايمكن





ح = مساحة المستطيل = 2 ل * ع

ل^2 + ع^2 = 2^2

ع = جذر(4 - ل^2)

ح = 2 ل * جذر(4 - ل^2)

المشتقة الأولى للمساحة = 4(2 - ل^2)/جذر(4 - ل^2)

عند النهاية العظمى أو الصغرى

ل = جذر2

المشتقة الثانية للمساحة

(10 ل^2 - 32 ل - 4 )/جذر(4 - ل^2)^3

بالتعويض بقيمة ل = جذر2 ... ... ... تعطى قيمة سالبة

فتكون المساحة نهاية عظمى عند ل = جذر2

ع = جذر(4 - ل^2) = جذر2

ويكون الشكل مربع

أكبر مساحة = 2*جذر2*جذر2 = 4



اثبات أن الوسط الحسابى أكبر من الوسط الهندسى لعددين

اشترط علماء الرياضيات عند مقارنة الوسط الحسابى والوسط الهندسى بالمتباينة

الوسط الحسابى > أو = الوسط الهندسى

أن تكون الأعداد موجبة

فمثلا :

الوسط الحسابى للعددين - 2 ، - 8 هو ( -2 -/2 = -5
الوسط الهندسى = جذر(-2*- = جذر16 = +4 أو -4

وعلى ذلك فالوسط الحسابى ليس أكبر من الوسط الهندسى بأحد قيمتيه سواء الموجبة أو السالبة

وبالتالى لا تصلح المتباينة للأعداد السالبة

وقاموا باستنتاج تلك العلاقة بالمتباينة

بطريقتين باستخدام نظرية فيثاغورث :









اثبات أن المراكز الثلاث للمثلث على استقامة واحدة

Euler line

المراكز الثلاث للمثلث التى تقع على مستقيم أويلر هى :

مركز الدائرة الخارجية : وهى نقطة تقابل الأعمدة المقامة من منتصفات أضلاع المثلث ، ويرمز له بالحرف O - سنرمزه بالحرف و

مركز الثقل : وهو نقطة تقاطع المستقيمات المتوسطة ، ويرمز له بالحرف G - سنرمزه بالحرف م

نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث ، ويرمز له بالحرف H - سنرمزه بالحرف هـ





طريقة أخرى للاثبات










العمل :

1 - نرسم المستقيم ج هـ يوازى المنصف د أ ويقابل امتداد ضلع المثلث ب أ فى نقطة هـ

2 - نرسم المستقيم ج ى عودى على ج هـ ويقابل امتداد ضلع المثلث أ ب فى نقطة ى

3 - نمد المنصف أ د ليقابل ج ى فى و

الاثبات :

فى المثلث أ ب د :
(ب د)^2 = (أ ب)^2 + (أ د)^2 - 2 أ ب . أ د . جتاأ/2 ــ (1)

فى المثلث أ د ج :
(د ج)^2 = (أ ج)^2 + (أ د)^2 - 2 أ ج . أ د . جتاأ/2 ــ (2)

فى المثلث أ ب ج :
(ب ج)^2 = (أ ب)^2 + (أ ج)^2 - 2 أ ب . أ ج . جتاأ

حيث :
ب ج = ب د + د ج
جتاأ = 2 جتا^2 (أ/2) - 1

(ب ج)^2 = (ب د)^2 + (د ج)^2 + 2 ب د . د ج

فيكون :
(ب د)^2 + (د ج)^2 + 2 ب د . د ج = (أ ب)^2 + (أ ج)^2 - 4 أ ب . أ ج . جتا^2 (أ/2) + 2 أ ب . أ ج ـــ (3)

من المعادلات (1) ، (2) ، (3)

أ ب . أ ج = ب د . د ج + (أ د)^2 + جتاأ/2 * [ (2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) - أ د (أ ب + أ ج ) ] ـــــــــــ (4)

ومن هنا نبدأ فى الاستفادة من العمل المشار إليه فى بداية الحل ، ولننتبه جيدا :

من الرسم عاليه

أ ج = أ هـ = أ ى

أ و = أ ج * جتاأ/2

أ و = 1/2 * ج هـ

(2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) = 2 * أ ب * أ و = أ ب . ج هـ

أ د (أ ب + أ ج ) = أ د . (أ ب + أ هـ) = أ د . ب هـ

المثلث ب د أ يشابه المثلث ب ج هـ

فيكون : ب أ / ب هـ = أ د / هـ ج

ب أ . هـ ج = أ د . ب هـ

إذن :

(2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) = أ د (أ ب + أ ج )

وتكون المعادلة (4)

أ ب . أ ج = ب د . د ج + (أ د)^2 + جتاأ/2 * [ (2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) - أ د (أ ب + أ ج ) ]

= ب د . د ج + (أ د)^2 + جتاأ/2 * 0

وحيث أن أى زاوية فى المثلث دائما أصغر من 180 درجة

فتكون نصف الزاوية دائما أصغر من 90 درجة

وبالتالى جتا أ/2 لا تساوى 0

إذن :
أ ب . أ ج = ب د . د ج + (أ د)^2

حيث أ د المنصف الداخلى للزاوية أ بالمثلث أ ب ج





نفس العمل السابق

الاثبات بنفس الطريقة السابقة:

فى المثلث أ ب د :
(ب د)^2 = (أ ب)^2 + (أ د)^2 - 2 أ ب . أ د . جتاأ/2 ــ (1)

فى المثلث أ د ج :
(د ج)^2 = (أ ج)^2 + (أ د)^2 - 2 أ ج . أ د . جتا(180 -أ/2) = (أ ج)^2 + (أ د)^2 + 2 أ ج . أ د . جتاأ/2 ــ (2)

فى المثلث أ ب ج :
(ب ج)^2 = (أ ب)^2 + (أ ج)^2 - 2 أ ب . أ ج . جتا(180 - أ)
= (أ ب)^2 + (أ ج)^2 + 2 أ ب . أ ج . جتاأ

حيث :
ب ج = د ج - د ب
جتاأ = 2 جتا^2 (أ/2) - 1

(ب ج)^2 = (ب د)^2 + (د ج)^2 - 2 ب د . د ج

فيكون :
(ب د)^2 + (د ج)^2 - 2 ب د . د ج = (أ ب)^2 + (أ ج)^2 + 4 أ ب . أ ج . جتا^2 (أ/2) - 2 أ ب . أ ج ـــ (3)

من المعادلات (1) ، (2) ، (3)

أ ب . أ ج = ب د . د ج - (أ د)^2 + جتاأ/2 * [ (2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) - أ د (أ ج - أ ب) ] ـــــــــــ (4)


من الرسم عاليه

أ ج = أ هـ = أ ى

أ و = أ ج * جتاأ/2

أ و = 1/2 * ج هـ

(2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) = 2 * أ ب * أ و = أ ب . ج هـ

أ د (أ ج - أ ب) = أ د . (أ هـ - أ ب) = أ د . ب هـ

المثلث ب د أ يشابه المثلث ب ج هـ

فيكون : ب أ / ب هـ = أ د / هـ ج

ب أ . هـ ج = أ د . ب هـ

إذن :

(2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) = أ د (أ ج - أ ب)

وتكون المعادلة (4)

أ ب . أ ج = ب د . د ج - (أ د)^2 + جتاأ/2 * [ (2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) - أ د (أ ج - أ ب) ]

= ب د . د ج + (أ د)^2 + جتاأ/2 * 0

وكما أشرنا فى الاثبات الأول أن : جتا أ/2 لا تساوى 0

إذن :

أ ب . أ ج = ب د . د ج - (أ د)^2

حيث أ د المنصف الخارجى للزاوية أ بالمثلث أ ب ج